IBM ILOG CPLEX 12 con matlab, especifique la función objetivo personalizada - matlab, optimización, mínimos cuadrados, cplex

Soy muy nuevo en el uso de IBM CPLEX, y estoy usando CPLEX con Matlab. Me preguntaba cómo compilar una función objetivo personalizada en CPLEX utilizando Matlab. La función objetivo es la siguiente:

Aquí aj es un vector de columna de tamaño 36000 x 1 y A es una matriz dispersa de tamaño 36000 x 4503. wj es un vector de columna de tamaño 4503 x 1 de variables de optimización. Hasta ahora esto es un simple cplexlsqnonneglin Si incluimos la restricción wj> = 0. Pero también me gustaría incluir los otros dos términos de suma con "beta" y lambda y la restricción wjj = 0. Cualquier ayuda para recrear este problema de optimización en CPLEX sería muy apreciada.

¡Gracias por adelantado!

Respuestas

Cuando agrega los otros términos al objetivo, su problema se convierte en un programa cuadrático general. Ya que wj >= 0 tenemos eso ||wj||_1 = e"*wj. Entonces podemos escribir tu problema como:

 minimize  0.5*(aj - A*wj)"*(aj - A*wj) + 0.5*beta*wj"*wj + lambda*e"*w
wj
subject to  wj >= 0, wj(j) = 0

Después de juntar los términos cuadráticos en el objetivo, tenemos el siguiente QP:

minimize  0.5*aj"*aj -aj"*A*wj + 0.5*wj"*(A"*A + beta*I)*w + lambda*e"*w
wj
subject to  wj >= 0, w(j) = 0

No puedo ayudarte con CPLEX. Pero puedes resolver este problema con Gurobi en MATLAB usando el siguiente código

m = 36000;
n = 4503;
A  = sprand(m, n, .01);
aj = rand(m, 1);
lambda = 0.1;
beta   = 0.4;

j = 300;

model.objcon = 0.5*aj"*aj;
model.obj    = -aj"*A + lambda*ones(1,n);
model.A      =  sparse(1, n);
model.sense  = "=";
model.rhs    = 0;
model.Q      = 0.5*(A"*A + beta*speye(n));
model.vtype  = "C";
model.lb     = zeros(n, 1);
model.ub     = inf(n,1);
model.ub(j)  = 0; % set 0 <= wj(j) <= 0

params.outputflag = 1;
result = gurobi(model, params);

if strcmp(result.status, "OPTIMAL")
wj = result.x(1:n);
end

Para más detalles vea la documentación en la interfaz de MATLAB de Gurobi: http://www.gurobi.com/documentation/5.6/reference-manual/matlab_gurobi

Tenga en cuenta que es posible que desee crear variables y restricciones para evitar la formación A"*A + beta*I en el objetivo. Por ejemplo, podrías crear una nueva variable. r y una restricción r = A*wj. Entonces el objetivo wj"*(A"*A + beta*I) wj se convertiría r"*r + beta*wj"*wj. Esto puede ayudar con los números.