Чи можна застосувати теорему згортки або програмне забезпечення типу Mathematica, щоб знайти вираз закритої форми для pdf Z = R + X де f_R(r;k,d) = kdr^(d-1)(1-r^d)^(k-1) і X є нульовим середнім гауссовським r.v невідомої дисперсії. r ~ [0,1] і pdf f_R(r;k,d) пов'язана з імовірністю нанесення однієї точки з відстанню r помножити на малюнок k-1 точки з відстанню > r.
Я не знаю, як вказати невідомий розподіл у Mathematica або Matlab, якщо він повинен бути використаний для обчислення виразів закритої форми у випадках, коли аналітично важко / неможливо.
У Mathematica, ми можемо використовувати існуючі імена подібного розподілу NormalDistribution[mu, std] але як користуватися f_R(r;k,d) ?
Відповіді:
4 для відповіді № 1Якщо я правильний, для к і д цілі позитивні, інтеграл згортки може бути виражений через моменти стандартного нормального розподілу, які відомі (див. наприклад тут)
Дозволяє f (r) позначимо стандартний нормальний pdf, і нехай h (r) позначимо інший pdf у вашій проблемі,
.
Розширення терміну (1-рд)к-1 з біноміальна теорема, г(р) може бути виражена як сума термінів виду брс, де с це ціле число, якщо к і д є. Нехай згортка ф і г буде позначено як ч:
Цей інтеграл може бути виражений як сума термінів виду
разів постійна (по "константі" я маю на увазі термін, який не залежить від змінної інтеграції, і, отже, може бути переміщений з інтеграла). Знову розширюється (р-т)с дає умови форми рм·тн. Тому інтеграл може бути виражений як сума термінів
разів постійна. Ці терміни задаються моментами нормального розподілу.